Question

2．（A組題）已知直線Ax+By+C=0與⊙O：x²+y²=2交于P、Q兩點(diǎn)，若滿足A²+B²=2C²，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=-1．

Answer 1

分析 直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，知道弦長(zhǎng)、半徑，求出∠POQ的余弦值，即可求得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的值．

解答 解：設(shè)∠POQ=2θ
圓心到直線Ax+By+C=0的距離為d，則d²=$\frac{{C}^{2}}{{A}^{2}+{B}^{2}}=\frac{1}{2}$，
cos²θ=$\frac{tvfifvo^{2}}{{r}^{2}}=\frac{1}{4}$，∴$cos2θ=2co{s}^{2}θ-1=-\frac{1}{2}$，
則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=r²cos2θ=2×$（-\frac{1}{2}）$=-1．
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，直線和圓的位置關(guān)系的判斷以及弦長(zhǎng)公式的求解，利用點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．