Question

16．定義為n個正數(shù)p₁，p₂，p₃…p_n的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{4}$，則$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+$…$+\frac{1}{{{b_{2015}}{b_{2016}}}}$=（　�。�

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{1}{2015}$

Answer 1

分析 由“均倒數(shù)”的定義，求得S_n，即可求得a_n，求得b_n，利用裂項法即可求得答案．

解答 解：由已知定義，得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，
即S_n=2n²+n．
當n=1時，a₁=S₁=3．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
當n=1時也成立，
∴a_n=4n-1；
∴${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{4}$=n．
∵∴b_n=n，則$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_3}{b_4}}}+$…$+\frac{1}{{{b_{2015}}{b_{2016}}}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$，
故選C．

點評 本題考查數(shù)列的求和，數(shù)列的新定義，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．