Question

20．某互聯(lián)網(wǎng)理財(cái)平臺(tái)為增加平臺(tái)活躍度決定舉行邀請(qǐng)好友拿獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，規(guī)則是每邀請(qǐng)一位好友在該平臺(tái)注冊(cè)，并購(gòu)買至少1萬(wàn)元的12月定期，邀請(qǐng)人可獲得現(xiàn)金及紅包獎(jiǎng)勵(lì)，現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)為被邀請(qǐng)人理財(cái)金額的1%，且每邀請(qǐng)一位最高現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)為300元，紅包獎(jiǎng)勵(lì)為每邀請(qǐng)一位獎(jiǎng)勵(lì)50元．假設(shè)甲邀請(qǐng)到乙、丙兩人，且乙、丙兩人同意在該平臺(tái)注冊(cè)，并進(jìn)行理財(cái)，乙、丙兩人分別購(gòu)買1萬(wàn)元、2萬(wàn)元、3萬(wàn)元的12月定期的概率如表：

理財(cái)金額	1萬(wàn)元	2萬(wàn)元	3萬(wàn)元
乙理財(cái)相應(yīng)金額的概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
丙理財(cái)相應(yīng)金額的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

（1）求乙、丙理財(cái)金額之和不少于5萬(wàn)元的概率；
（2）若甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)古典概型的概率公式，計(jì)算乙、丙理財(cái)金額之和不少于5萬(wàn)元的概率值；
（2）根據(jù)X的所有可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，
寫出隨機(jī)變量X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）設(shè)乙、丙理財(cái)金額分別為ξ萬(wàn)元、η萬(wàn)元，
則乙、丙理財(cái)金額之和不少于5萬(wàn)元的概率為
P（ξ+η≥5）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）+P（ξ=3）P（η=2）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{9}$；---------（4分）
（2）X的所有可能的取值為300，400，500，600，700；
P（X=300）=P（ξ=1）P（η=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=400）=P（ξ=1）P（η=2）+P（ξ=2）P（η=1）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=500）=P（ξ=1）P（η=3）+P（ξ=3）•P（η=1）+P（ξ=2）P（η=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=600）=P（ξ=2）P（η=3）+P（ξ=3）P（η=2）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=700）=P（ξ=3）P（η=3）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{18}$，
所以X的分布列為

X	300	400	500	600	700
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{18}$

（10分）
數(shù)學(xué)期望為E（X）=300×$\frac{1}{6}$+400×$\frac{5}{18}$+500×$\frac{1}{3}$+600×$\frac{1}{6}$+700×$\frac{1}{18}$=$\frac{1400}{3}$．----------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．