Question

7．已知橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=-3+\sqrt{3}t\\ y=2\sqrt{3}+t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$．
（1）寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程；
（2）設A（1，0），若橢圓C上的點P滿足到點A的距離為$\frac{3}{2}$，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程可知：a=2，b=$\sqrt{3}$，sin²θ+cos²=1，可求得其參數(shù)方程，將t=y-2$\sqrt{3}$代入x=-3+$\sqrt{3}$t，即可求得直線l的普通方程；
（2）設P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），利用兩點之間的距離公式，即可求得2-cosθ=$\frac{3}{2}$，即可求得點P的坐標．

解答 解：（1）由橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，a=2，b=$\sqrt{3}$，則$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為為參數(shù)），
將t=y-2$\sqrt{3}$代入x=-3+$\sqrt{3}$t，整理得：x-$\sqrt{3}y$+9=0，
橢圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，（θ為為參數(shù)），直線l的普通方程x-$\sqrt{3}y$+9=0；
（2）設P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），則丨AP丨=$\sqrt{（2cosθ-1）^{2}+（\sqrt{3}sinθ）^{2}}$=2-cosθ，
由丨AP丨=$\frac{3}{2}$，得2-cosθ=$\frac{3}{2}$，
又sin²θ+cos²=1，得sinθ=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$．
點P的坐標（1，±$\frac{3}{2}$）．
∴點P的坐標（1，±$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查橢圓及直線的參數(shù)方程，考查兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．