Question

19．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點分別為A₁，A₂，左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，若以A₁A₂為直徑的圓與PF₂相切，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義和以及圓的有關(guān)性質(zhì)可得PF₁=2a，PF₂=4a，再根據(jù)勾股定理得到a，c的關(guān)系式，即可求出離心率．

解答 解：如圖所示，由題意可得OQ∥F₁P，OQ=OA₂=a，OF₂=c，F(xiàn)₁F₂=2c，
∴$\frac{OQ}{P{F}_{2}}$=$\frac{O{F}_{1}}{{F}_{1}F2}$=$\frac{1}{2}$，
∴PF₁=2a，
∵點P為雙曲線左支的一個點，
∴PF₂-PF₁=2a，
∴PF₂=4a，
∵以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P，
∴∠F₁PF₂=90°
∴（2a）²+（4a）²=（2c）²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=3，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選：B

點評 此題要求學(xué)生掌握定義：到兩個定點的距離之差等于|2a|的點所組成的圖形即為雙曲線．考查了數(shù)形結(jié)合思想、本題凸顯解析幾何的特點：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑．