Question

10．某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時(shí)間，學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè)，同時(shí)每天派老師輪流值班．在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計(jì)了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下2×2列聯(lián)表：

	非優(yōu)良	優(yōu)良	總計(jì)
未設(shè)立自習(xí)室	25	15	40
設(shè)立自習(xí)室	10	30	40
總計(jì)	35	45	80

（1）能否在在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；
（2）設(shè)從該班第一次月考的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中任取2個(gè)，取到優(yōu)良成績的個(gè)數(shù)為X，從該班第二次月考的所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中任取2個(gè)，取到優(yōu)良成績的個(gè)數(shù)為Y，求X與Y的期望并比較大小，請解釋所得結(jié)論的實(shí)際意義．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）求出K²，與臨界值比較，即可得出能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；
（2）求出期望，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，K²=$\frac{80×（25×30-15×10）^{2}}{40×40×35×45}$=$\frac{80}{7}$＞7.879，
∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效；
（2）X的取值為0，1，2，則
P（X=0）=$\frac{{C}_{25}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{25}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{25}{52}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{7}{52}$，
∴E（X）=0×$\frac{5}{13}+1×\frac{25}{52}+2×\frac{7}{52}$=$\frac{3}{4}$．
Y的取值為0，1，2，則：
P（Y=0）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{3}{52}$，P（Y=1）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{30}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（Y=2）=$\frac{{C}_{30}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{29}{52}$，
E（Y）=$0×\frac{3}{52}+1×\frac{5}{13}+2×\frac{29}{52}$=$\frac{3}{2}$．
也即EX＜EY，其實(shí)際含義即表明設(shè)立自習(xí)室有效．

點(diǎn)評 本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，利用條件建立隨機(jī)變量的分布列，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)．