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3.若圓x2+y2+2x-6y+6=0有且僅有三個點到直線x+ay+1=0的距離為1,則實數a的值為(  )
A.±1B.$±\frac{\sqrt{2}}{4}$C.$±\sqrt{2}$D.$±\frac{\sqrt{3}}{2}$

分析 化圓的一般方程為標準方程,求出圓心坐標與半徑,把圓x2+y2+2x-6y+6=0上有且僅有三個點到直線x+ay+1=0的距離為1,轉化為圓心C到直線x+ay+1=0的距離為1,再由點到直線的距離公式求解得答案.

解答 解:化圓x2+y2+2x-6y+6=0為(x+1)2+(y-3)2=4.
可得圓心坐標為C(-1,3),半徑r=2.
如圖:
要使圓x2+y2+2x-6y+6=0有且僅有三個點到直線x+ay+1=0的距離為1,
則圓心C到直線x+ay+1=0的距離為1,
即$\frac{|-1+3a+1|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}=1$,解得a=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$.
故選:B.

點評 本題考查直線與圓位置關系的應用,考查數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法,是中檔題.

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