Question

11．已知拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-1，直線l與拋物線相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，直線l是否過定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)，若不過，試說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的準(zhǔn)線方程可知：$\frac{p}{2}$=1，即p=2．即可求得拋物線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程，my=x+n，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得n的值，可知直線l過定點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）已知拋物線的對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-1，
所以$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（Ⅱ）解：假設(shè)直線l過定點(diǎn)，設(shè)l：my=x+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{my=x+n}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+4n=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4n．
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，可得x₁x₂+y₁y₂=（my₁-n）（my₂-n）+y₁y₂
=（1+m²）y₁y₂-mn（y₁+y₂）+n²=4n（1+m²）-4m²n+n²
=4n+n²=-4，解得n=-2，
則直線l：my=x-2過定點(diǎn)（2，0）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和簡單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．