Question

20．下列關(guān)于函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2-2cos2x}}{cosx}$的描述正確的是（　　）

• A． 在（-$\frac{π}{2}$，0]上遞減
• B． 在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上最小值為0
• C． 周期為π
• D． 在（-$\frac{π}{2}$，0]上遞增

Answer 1

分析 運(yùn)用二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系式，化簡(jiǎn)f（x），再由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2-2cos2x}}{cosx}$=$\frac{\sqrt{2×2si{n}^{2}x}}{cosx}$
=$\frac{2|sinx|}{cosx}$，
當(dāng)0≤sinx＜1時(shí)，f（x）=$\frac{2sinx}{cosx}$=2tanx；
當(dāng)-1＜sinx≤0時(shí)，f（x）=-2tanx．
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，0]時(shí)，f（x）=-2tanx遞減，故A正確，D錯(cuò)誤；
若周期為π，則f（x+π）=f（x）成立，
但f（x+π）=$\frac{2|sin（x+π）|}{cos（x+π）}$=-2•$\frac{|sinx|}{cosx}$=-f（x），故C錯(cuò)誤；
在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2tanx，\frac{π}{2}＜x≤π}\\{-2tanx，π＜x＜\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
可得f（x）的值域?yàn)椋?∞，0]，即有f（x）的最大值為0，故B錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想方法，考查判斷和化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．