1.已知雙曲線方程為3x2-y2=3.
(1)求以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程;
(2)以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦存在嗎?若存在,求出其所在的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)設(shè)以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式,運(yùn)用點(diǎn)差法可得所求直線的斜率,再由點(diǎn)斜式方程即可得到所求直線方程;
(2)假設(shè)定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦存在,設(shè)以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x3,y3),(x4,y4),運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式,結(jié)合點(diǎn)差法,求得直線的斜率,由點(diǎn)斜式方程可得直線方程,代入雙曲線的方程,檢驗(yàn)判別式是否大于0,即可判斷是否存在.

解答 解:(1)設(shè)以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),
可得x1+x2=4,y1+y2=2,①
由端點(diǎn)在雙曲線上,可得3x12-y12=3,3x22-y22=3,
兩式相減可得3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),
將①代入上式,
可得以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3({x}_{1}+{x}_{2})}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=6,
則以定點(diǎn)A(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y-1=6(x-2),
即為y=6x-11,
代入雙曲線的方程可得33x2-132x+124=0,
由△=1322-4×33×124>0,可得所求直線存在,
即有所求直線的方程為y=6x-11;
(2)假設(shè)定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦存在,
設(shè)以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為(x3,y3),(x4,y4),
可得x3+x4=2,y3+y4=2,②
由端點(diǎn)在雙曲線上,可得3x32-y32=3,3x42-y42=3,
兩式相減可得3(x3-x4)(x3+x4)=(y3-y4)(y3+y4),
將②代入上式,
可得以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為
$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{3({x}_{3}+{x}_{4})}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=3,
則以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y-1=3(x-1),
即為y=3x-2,
代入雙曲線的方程可得6x2-12x+7=0,
由△=122-4×6×7=-24<0,可得所求直線不存在,
以定點(diǎn)B(1,1)為中點(diǎn)的弦不存在.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程,結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及直線的斜率公式,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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