Question

1．已知雙曲線方程為3x²-y²=3．
（1）求以定點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程；
（2）以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在嗎？若存在，求出其所在的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)以定點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，運(yùn)用點(diǎn)差法可得所求直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得到所求直線方程；
（2）假設(shè)定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₃，y₃），（x₄，y₄），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，結(jié)合點(diǎn)差法，求得直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得直線方程，代入雙曲線的方程，檢驗(yàn)判別式是否大于0，即可判斷是否存在．

解答 解：（1）設(shè)以定點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，①
由端點(diǎn)在雙曲線上，可得3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
兩式相減可得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
將①代入上式，
可得以定點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=6，
則以定點(diǎn)A（2，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y-1=6（x-2），
即為y=6x-11，
代入雙曲線的方程可得33x²-132x+124=0，
由△=132²-4×33×124＞0，可得所求直線存在，
即有所求直線的方程為y=6x-11；
（2）假設(shè)定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦存在，
設(shè)以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
可得x₃+x₄=2，y₃+y₄=2，②
由端點(diǎn)在雙曲線上，可得3x₃²-y₃²=3，3x₄²-y₄²=3，
兩式相減可得3（x₃-x₄）（x₃+x₄）=（y₃-y₄）（y₃+y₄），
將②代入上式，
可得以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為
$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{3（{x}_{3}+{x}_{4}）}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=3，
則以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y-1=3（x-1），
即為y=3x-2，
代入雙曲線的方程可得6x²-12x+7=0，
由△=12²-4×6×7=-24＜0，可得所求直線不存在，
以定點(diǎn)B（1，1）為中點(diǎn)的弦不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及直線的斜率公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．