Question

13．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）-1＜0，且f（1）=1，則不等式f（2x-1）＞ln（2x-1）+1的解集是（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-lnx，求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合g（1）=f（1），將f（2x-1）＞ln（2x-1）+1，轉(zhuǎn)化為g（2x-1）＞g（1），求出x的范圍即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-lnx，
則g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{x}$，
∵xf′（x）-1＜0，
∴f′（x）＜$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）＜0，
故g（x）在（0，+∞）遞減，
而g（1）=f（1）=1，
由f（2x-1）＞ln（2x-1）+1，
得g（2x-1）＞g（1），
故0＜2x-1＜1，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．