Question

5．為了探究某市高中理科生在高考志愿中報考“經濟類”專業(yè)是否與性別有關，現(xiàn)從該市高三理科生中隨機抽取50各學生進行調查，得到如下2×2列聯(lián)表：（單位：人）．

	報考“經濟類”	不報“經濟類”	合計
男	6	24	30
女	14	6	20
合計	20	30	50

（Ⅰ）據此樣本，能否有99%的把握認為理科生報考“經濟類”專業(yè)與性別有關？
（Ⅱ）若以樣本中各事件的頻率作為概率估計全市總體考生的報考情況，現(xiàn)從該市的全體考生（人數眾多）中隨機抽取3人，設3人中報考“經濟類”專業(yè)的人數為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布及數學期望．
附：參考數據：

P（X2≥k）	0.05	0.010
k	3.841	6.635

（參考公式：X²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$）

Answer 1

分析 （I）計算K²，根據臨界值表作出結論；
（II）分別計算X=0，1，2，3時的概率得出分布列，根據分布列得出數學期望和方差．

解答 解：（Ⅰ）${Χ^2}=\frac{{50×{{（36-336）}^2}}}{30×20×20×30}=\frac{{50×{{300}^2}}}{30×20×20×30}=\frac{25}{2}=12.5＞6.635$…（2分）
∴有99%的把握認為理科生愿意報考“經濟類”專業(yè)與性別有關…（4分）
（Ⅱ）估計該市的全體考生中任一人報考“經濟類”專業(yè)的概率為$p=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$…（6分）
X的可能取值為0，1，2，3，由題意，得X～B（3，$\frac{2}{5}$），$P（X=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，（k=0，1，2，3）$
∴隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（10分）
∴隨機變量X的數學期望$E（X）=\frac{6}{5}$…（12分）

點評 本題考查了獨立性檢驗的應用，離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法，是中檔題．