Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，a₁=1，若b_n=a_n-2．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形，可得a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），即b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，可得{b_n}是公式為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）求出等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合b_n=a_n-2，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，
∴a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），又b_n=a_n-2，
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1，
∴{b_n}是公式為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）解：b₁=a₁-2=-1，
b_n=（-1）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴${a}_{n}=2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，注意遞推公式的靈活運(yùn)用，是中檔題．