Question

7．己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為$\frac{2π}{3}$的直線l與x，y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A，B，△AOB的面積為8$\sqrt{3}$．
（I ）求直線l的方程；
（II）直線l′過點(diǎn)O且與l平行，點(diǎn)P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：直線l的斜率k=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$，設(shè)直線l的方程為：y=-$\sqrt{3}$x+b．可得直線l與坐標(biāo)軸的正半軸交點(diǎn)為A$（\frac{\sqrt{3}}{3}b，0）$，B（0，b），其中b＞0．可得S_△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$b×b=8$\sqrt{3}$，解得b即可得出．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$）．直線l′的方程為：y=-$\sqrt{3}$x．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)A′（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m-4}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{n}{2}=-\sqrt{3}•\frac{m+4}{2}}\end{array}\right.$，解得A′（-2，-2$\sqrt{3}$）．|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，當(dāng)A′，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值．即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：直線l的斜率k=tan$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$，設(shè)直線l的方程為：y=-$\sqrt{3}$x+b．
可得直線l與坐標(biāo)軸的正半軸交點(diǎn)為A$（\frac{\sqrt{3}}{3}b，0）$，B（0，b），其中b＞0．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$b×b=8$\sqrt{3}$，解得b=4$\sqrt{3}$．
∴直線l的方程為：y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4$\sqrt{3}$）．
直線l′的方程為：y=-$\sqrt{3}$x．
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l′的對(duì)稱點(diǎn)A′（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m-4}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{n}{2}=-\sqrt{3}•\frac{m+4}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴A′（-2，-2$\sqrt{3}$）．
∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，
∴當(dāng)A′，B，P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值．
∴（|PA|+|PB|）_min=|A′B|=4$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程、垂直平分線的性質(zhì)、方程組的解法、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．