分析 (I)根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和二倍角公式花間f(x),利用余弦函數(shù)的性質得出f(x)的周期和單調區(qū)間;
(II)根據(jù)x的范圍得出f(x)的單調性,從而得出f(x)的最值及其對應的x的值,利用向量法求出AC,BC,∠ACB,代入面積公式即可求出三角形的面積.
解答 解:(I)f(x)=cos2$\frac{x}{2}$-sin2$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos(x+$\frac{π}{4}$),
∴f(x)的最小正周期為T=2π.
令2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π,解得-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ,
∴f(x)的單調遞減區(qū)間是[-$\frac{π}{4}$+2kπ,$\frac{3π}{4}$+2kπ].k∈Z.
(II)當x∈[0,$\frac{π}{2}$]時,x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$],
∴當x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$即x=$\frac{π}{2}$時,f(x)取得最小值$\sqrt{2}×$(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)=-1.
此時,$\overrightarrow{AC}$=($\sqrt{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$),$\overrightarrow{BC}$=(0,$\sqrt{2}$),
∴|$\overline{AC}$|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{2}$,
∴cos<$\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$>=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴sin∠ACB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}×|AC|×|BC|×sin∠ACB$=1.
點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,三角函數(shù)的圖象與性質,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{11}{6}$ |
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A. | 12 | B. | $\frac{52}{5}$ | C. | $\frac{46}{5}$ | D. | 2 |
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A. | -15 | B. | 15 | C. | 243 | D. | -243 |
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A. | 1+3i | B. | $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$ | C. | 1-3i | D. | $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$ |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 6 |
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