分析 (1)求出a=2時(shí),分段函數(shù)的解析式,討論x≥-1時(shí),x<-1時(shí),解不等式,求并集即可得到所求解集;
(2)討論:①當(dāng)x≥0時(shí),②當(dāng)x<-1時(shí),③當(dāng)-1≤x<0時(shí),考慮函數(shù)式與方程的解,即可得證,并求出a的范圍.
解答 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2|x|-6,x≥-1}\\{2x-5,x<-1}\end{array}\right.$,
當(dāng)x≥-1時(shí),f(x)=x2-2|x|-6≤2,即為-2≤|x|≤4,解得-1≤x≤4;
當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=2x-5≤2,即為x≤$\frac{7}{2}$,解得x<-1.
綜上可得,f(x)≤2的解集為{x|x≤4};
(2)證明:①當(dāng)x≥0時(shí),△=a2+4(a2+4)>0,記x2-ax-a2-2=0的兩根為x1,x2,
∵x1x2=-a2-2<0,∴方程f(x)=0在(0,+∞)只有1個(gè)解;
②當(dāng)x<-1時(shí),f(x)=ax-a2-1=0,
當(dāng)a=0時(shí),方程無(wú)解;
當(dāng)a≠0時(shí),x=a+$\frac{1}{a}$,若a>0,則x=a+$\frac{1}{a}$≥2>0,方程f(x)=0在(-∞,-1)無(wú)解;
若a<0,則x=a+$\frac{1}{a}$≤-2<-1,方程f(x)=0在(-∞,-1)只有一個(gè)解;
③當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=x2+ax-a2-2,
由f(0)=-a2-2<0,f(-1)=-a-a2-1=-(a2+a+1)=-(a+$\frac{1}{2}$)2-$\frac{3}{4}$<0,
可得f(x)=x2+ax-a2-2<0,
則方程f(x)=0在[-1,0)無(wú)解.
綜上可得,a≥0時(shí),f(x)=0只有一個(gè)解;
a<0時(shí),f(x)=0有兩個(gè)解.
點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用:解不等式,注意各段的解析式,考查方程解的個(gè)數(shù),注意運(yùn)用函數(shù)方程思想,考查分類(lèi)討論思想方法,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于難題.
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