Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-a|x|-{a}^{2}-2，x≥-1}\\{ax-{a}^{2}-1，x＜-1}\end{array}\right.$，（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≤2；
（2）證明：方程f（x）=0最少有1個(gè)解，最多有2個(gè)解，并求該方程有2個(gè)解時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=2時(shí)，分段函數(shù)的解析式，討論x≥-1時(shí)，x＜-1時(shí)，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（2）討論：①當(dāng)x≥0時(shí)，②當(dāng)x＜-1時(shí)，③當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，考慮函數(shù)式與方程的解，即可得證，并求出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2|x|-6，x≥-1}\\{2x-5，x＜-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）=x²-2|x|-6≤2，即為-2≤|x|≤4，解得-1≤x≤4；
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=2x-5≤2，即為x≤$\frac{7}{2}$，解得x＜-1．
綜上可得，f（x）≤2的解集為{x|x≤4}；
（2）證明：①當(dāng)x≥0時(shí)，△=a²+4（a²+4）＞0，記x²-ax-a²-2=0的兩根為x₁，x₂，
∵x₁x₂=-a²-2＜0，∴方程f（x）=0在（0，+∞）只有1個(gè)解；
②當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=ax-a²-1=0，
當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)a≠0時(shí)，x=a+$\frac{1}{a}$，若a＞0，則x=a+$\frac{1}{a}$≥2＞0，方程f（x）=0在（-∞，-1）無(wú)解；
若a＜0，則x=a+$\frac{1}{a}$≤-2＜-1，方程f（x）=0在（-∞，-1）只有一個(gè)解；
③當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=x²+ax-a²-2，
由f（0）=-a²-2＜0，f（-1）=-a-a²-1=-（a²+a+1）=-（a+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$＜0，
可得f（x）=x²+ax-a²-2＜0，
則方程f（x）=0在[-1，0）無(wú)解．
綜上可得，a≥0時(shí)，f（x）=0只有一個(gè)解；
a＜0時(shí)，f（x）=0有兩個(gè)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用：解不等式，注意各段的解析式，考查方程解的個(gè)數(shù)，注意運(yùn)用函數(shù)方程思想，考查分類(lèi)討論思想方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．