Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）求在區(qū)間上的最小值；

（3）在（1）的條件下，若，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，由已知函數(shù)在處取得極值，得到，即可求解的值；

（2）由（1）得，定義域?yàn)?/span>，分，和三種情況討論，分別求得函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論；

（3）由，得到，把，只需證，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由，定義域?yàn)?/span>，則，

因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，

所以，即，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，所以.

(2)由（1）得，定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，有，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，

當(dāng)時(shí)，由得，且，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為，

當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以在處取得最小值，

綜上可得：

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為1，

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最小值為.

（3）由得，

當(dāng)時(shí)，，則，

欲證，只需證，即證，即，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，

故， 即當(dāng)時(shí)，恒有成立.