Question

11．已知數(shù)列{a_n}是各項均不為零的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且${a_n}=\sqrt{{S_{2n-1}}}$（n∈N^*）．若不等式$\frac{{λ{{（-1）}^n}}}{a_n}≤\frac{{n+2{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是[-3，0]．

Answer 1

分析 利用已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，$⇒a_n^2=（2n-1）{a_n}$，得到a_n=2n-1，n∈N^*，然后①當(dāng)n為奇數(shù)時，利用函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解λ≥-3，②當(dāng)n為偶數(shù)時，分離變量，通過函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解 λ≤0，然后推出實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：${a_n}=\sqrt{{S_{2n-1}}}⇒{a_n}=\sqrt{\frac{{（2n-1）（{a_1}+{a_{2n-1}}）}}{2}}=\sqrt{（2n-1）{a_n}}$，
$⇒a_n^2=（2n-1）{a_n}$⇒a_n=2n-1，n∈N^*⇒$λ{（-1）^n}≤\frac{{n+2{{（-1）}^{n+1}}}}{n}{a_n}=\frac{{n+2{{（-1）}^{n+1}}}}{n}（2n-1）$
①當(dāng)n為奇數(shù)時，$-λ≤\frac{（n+2）（2n-1）}{n}=\frac{{2{n^2}+3n-2}}{n}=2n-\frac{2}{n}+3$，
$f（n）=2n-\frac{2}{n}+3$是關(guān)于n（n∈N^*）的增函數(shù)．
所以n=1時f（n）最小值為f（1）=2-2+3=3，這時-λ≤3，λ≥-3，
②當(dāng)n為偶數(shù)時，$λ≤\frac{（n-2）（2n-1）}{n}=\frac{{2{n^2}-5n+2}}{n}=2n+\frac{2}{n}-5$恒成立，
n為偶數(shù)時，$g（n）=2n+\frac{2}{n}-5$是增函數(shù)，當(dāng)n=2時，g（n）最小值為g（2）=4+1-5=0，
這時 λ≤0綜上①、②實數(shù)λ的取值范圍是[-3，0]．
故答案為：[-3，0]．

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列的函數(shù)的特征，考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．