Question

6．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若點(diǎn)E為AC₁上的點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{E{C}_{1}}$（m∈R），三棱錐E-ADC的體積與三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積之比為1：12，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)A₁C，交AC₁于F，則F為AC₁的中點(diǎn)，連結(jié)DF，則A₁B∥DF，由此能證明A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，設(shè)EM=h，由已知得h=$\frac{\frac{1}{12}×\frac{1}{2}×BC×AD×A{A}_{1}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×CD×AD}$=$\frac{3}{2}$，由此能求出實(shí)數(shù)m的值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)A₁C，交AC₁于F，則F為AC₁的中點(diǎn)
連結(jié)DF，則A₁B∥DF，
∵DF?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
解：（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{E{C}_{1}}$，∴AE=mEC₁，
過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，設(shè)EM=h，
∵三棱錐E-ADC的體積與三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積之比為1：12，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×CD×AD×h=\frac{1}{12}×\frac{1}{2}×BC×AD×A{A}_{1}$，
解得h=$\frac{\frac{1}{12}×\frac{1}{2}×BC×AD×A{A}_{1}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×CD×AD}$=$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)E為AC₁中點(diǎn)時(shí)，三棱錐E-ADC的體積與三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積之比為1：12，
∴實(shí)數(shù)m的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．