Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，若不等式f（x）≤3的解集為{|x|-1≤x≤5}．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值：
（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤3得|x-a|≤3．得a-3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}．所以$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，解得a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x-2|，設(shè)函數(shù)g（x）=f（3x）+f（x+3），求出函數(shù)g（x）的最小值，m≤g（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3．解得a-3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}}\right.$，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x-2|，設(shè)函數(shù)g（x）=f（3x）+f（x+3），則$g（x）=\left|{3x-\left.2\right|}\right.+\left|{x+\left.1\right|}\right.=\left\{{\begin{array}{l}{-4x+1，x≤-1}\\{-2x+3，-1＜x≤\frac{2}{3}}\\{4x-1，x＞\frac{2}{3}}\end{array}}\right.$
所以函數(shù)g（x）的最小值為$g（{\frac{2}{3}}）=\frac{5}{3}$．
由不等式f（3x）+f（x+3）≥m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，得$m≤\frac{5}{3}$．
于是實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（-∞，\frac{5}{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法，及恒成立問題，屬于中檔題．