Question

12．某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，實(shí)行“階梯式”水價(jià)，將該市每戶居民的月用水量劃分為三檔：月用水量不超過4噸的部分按2元/噸收費(fèi)，超過4噸但不超過8噸的部分按4元/噸收費(fèi)，超過8噸的部分按8元/噸收費(fèi)．
（1）求居民月用水量費(fèi)用y（單位：元）關(guān)于月用水量x（單位：噸）的函數(shù)解析式；
（2）為了了解居民的用水情況，通過抽樣，獲得今年3月份100戶居民每戶的用水量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年3月份用水費(fèi)用不超過16元的占66%，求a，b的值；
（3）在滿足條件（2）的條件下，若以這100戶居民用水量的頻率代替該月全市居民用戶用水量的概率．且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替．記為該市居民用戶3月份的用水費(fèi)用，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意，利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可求得y與x的函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合頻率分布直方圖可知：$\left\{{\begin{array}{l}{0.1+2b+0.3=0.6}\\{2b+2a+0.05=0.4}\end{array}}\right.$，即可求得a和b的值；
（3）Y的可能取值為1，3，5，7，9，11，分別求得概率，利用數(shù)學(xué)期望公式即可求得Y的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y=2x；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，y=2×4+4×（x-4）=4x-8，
當(dāng)x＞8時(shí)，y=2×4+4×4+8×（x-8）=8x-40．
所以y與x之間的函數(shù)解析式為：$y=\left\{{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤4}\\{4x-8，4＜x≤8}\\{8x-40，x＞8}\end{array}}\right.$；
（2）由（1）可知，當(dāng)y=16時(shí)，x=6，則P（x≤6）=0.60，
結(jié)合頻率分布直方圖可知：$\left\{{\begin{array}{l}{0.1+2b+0.3=0.6}\\{2b+2a+0.05=0.4}\end{array}}\right.$，
∴a=0.075，b=0.1；
（3）由題意可知：Y的可能取值為1，3，5，7，9，11．
則P（Y=1）=0.1，P（Y=3）=0.2，P（Y=5）=0.3，P（Y=7）=0.2，P（Y=9）=0.15，P（Y=11）=0.05，
所以P的分布列：

P	1	3	5	7	9	11
Y	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

E（Y）=1×0.1+3×0.2+5×0.3+7×0.2+9×0.15+11×0.05=4.5，
y的數(shù)學(xué)期望E（Y）=4.5．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的及頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．