Question

4．如圖所示，正三角形ABC所在平面與梯形BCDE所在平面垂直，BE∥CD，BE=2CD=4，BE⊥BC，F為棱AB的中點．
（1）求證：CF⊥平面ABE；
（2）若直線DA與平面ABC所成的角為30°，求三棱錐D-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出BE⊥平面ABC，從而BE⊥CF，再求出CF⊥AB，由此能證明CF⊥平面ABE．
（2）取BC中點G，連接AG，由V_D-BEF=V_F-BDE，能求出三棱錐D-BEF的體積．

解答 證明：（1）∵平面ABC⊥平面BCDE，
平面ABC∩平面BCDE=BC，
且BE?平面BCDE，BE⊥BC，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥CF，
又∵△ABC為正三角形，F為AB的中點，
∴CF⊥AB，
又∵BE、AB?平面ABE，BE∩AB=B，
∴CF⊥平面ABE；
解：（2）取BC中點G，連接AG，
由題意知CD⊥平面ABC，
∴DA與平面ABC所成的角為∠DAC=30°，
∵Rt△ACD中，CD=2，∴$AD=4，AC=2\sqrt{3}$，
∵△ABC為正三角形，G為BC的中點，
∴AG⊥BC且$AG=3，BC=2BG=2\sqrt{3}$，
∵平面ABC⊥平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，
又∵F為AB的中點，∴點F到平面BCDE的距離為$\frac{1}{2}AG=\frac{3}{2}$，
∵$BE⊥BC，BE=4，BC=2\sqrt{3}$，
∴${S_{△BDE}}=\frac{1}{2}•BE•BC=4\sqrt{3}$，
∴${V_{D-BEF}}={V_{F-BDE}}=\frac{1}{3}•{S_{△BDE}}•\frac{1}{2}AG=\frac{1}{3}•4\sqrt{3}•\frac{3}{2}=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、空間思維能力、運算求解能力，考查等價轉化思想、數形結合思想，是中檔題．