Question

16．如圖，已知菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=$\frac{1}{2}$AF=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求證：AF⊥BC；
（Ⅱ）線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使得直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{93}}{31}$，若存在，求AG的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的性質(zhì)，證明AF⊥平面ABCD，即可證明：AF⊥BC；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面DEF的法向量，利用直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{93}}{31}$，可得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB⊥AF，
∴AF⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，AF⊥BC；
（Ⅱ）解：取AB的中點(diǎn)O，連接CO，則CO⊥AB，
∵菱形ABCD與直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，
∴CO⊥平面ABEF，
作OM∥AF，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D（-2，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（-1，4，0），E（1，2，0），
∴$\overrightarrow{DF}$=（1，4，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EF}$=（-2，2，0），
設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+4y-\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\frac{5}{\sqrt{3}}$），
設(shè)G（λ，0，0），λ∈[-1，1]，則$\overrightarrow{GF}$=（-λ-1，4，0）
∵直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{93}}{31}$，
∴$\frac{|-λ-1+4|}{\sqrt{（λ+1）^{2}+16}×\sqrt{\frac{31}{3}}}$=$\frac{\sqrt{93}}{31}$，
∴λ=-1∈[-1，1]，
∴AG=0，直線FG與平面DEF所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{93}}{31}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中垂直關(guān)系的判斷與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了用向量法求線面角，考查了空間想象能力與邏輯思維能力，是綜合性問(wèn)題．