12.已知函數(shù)f(x)=ex-ax+b.
(1)若f(x)在x=2有極小值1-e2,求實數(shù)a,b的值.
(2)若f(x)在定義域R內單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求導函數(shù),根據(jù)極值的意義得到關于a,b的方程組,求出a,b的值即可;
(2)f(x)在R上單調遞增,則f'(x)=ex-a≥0恒成立,分離參數(shù),即可求得a的取值范圍.

解答 解:(1)f′(x)=ex-a,
若f(x)在x=2有極小值1-e2,
則$\left\{\begin{array}{l}{f′(2){=e}^{2}-a=0}\\{f(2){=e}^{2}-2a+b=1{-e}^{2}}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a{=e}^{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$;
(2)∵f(x)=ex-ax+b,∴f'(x)=ex-a,
∵f(x)在R上單調遞增,
∴f'(x)=ex-a≥0恒成立,
即a≤ex,x∈R恒成立.
∵x∈R時,ex∈(0,+∞),∴a≤0.
即a的取值范圍為(-∞,0].

點評 本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調性與最值,考查恒成立問題,正確求導是關鍵.

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