Question

9．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）長軸長為短軸長的兩倍，連結(jié)橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，直線l過點(diǎn)A（-a，0），且與橢圓相交于另一點(diǎn)B；
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB長為$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直線l的傾斜角；
（3）點(diǎn)Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）長軸長為短軸長的兩倍，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，列出方程組求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式，即可求得結(jié)論．
（3）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由此根據(jù)k=0和k≠0兩種情況分類討論經(jīng)，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）長軸長為短軸長的兩倍，
連結(jié)橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2×2b}\\{\frac{1}{2}×2a×2b=4}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1．
所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由（1）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）．
代入橢圓方程，消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{1}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
從而${y}_{1}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$．
所以|AB|=$\sqrt{（-2-\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{4k}{1+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．
由|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，得$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直線l的傾斜角$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．
（3）由（1）可知A（-2，0）．設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，
則直線l的方程為y=k（x+2），
于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
由方程組消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，得${x}_{1}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，從而${y}_{1}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．線段AB的垂直平分線為y軸，于是
$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（2，-y₀），由$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=4$，得y₀=$±2\sqrt{2}$；
②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{k}（x+\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）$，
令x=0，解得${y}_{0}=\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（x₁，y₁-y₀），
$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀）=$\frac{-2（2-8{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$（$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{6k}{1+4{k}^{2}}$）=$\frac{4（16{k}^{4}+15{k}^{2}-1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$=4，
整理得7k²=2，故k=$±\frac{\sqrt{14}}{7}$，解得${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．
綜上${y}_{0}=±2\sqrt{2}$或${y_0}=±\frac{{2\sqrt{14}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓與直線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查整體思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用意識，是中檔題．