Question

7．在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且2sin²$\frac{A+C}{2}$+cos2B=1．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若b=2，求y=a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得cosB+2cos²B-1=0，進(jìn)而解得cosB的值，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可得解B的值．
（Ⅱ）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得y=a+c=4sin（A+$\frac{π}{6}$），求得范圍$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，進(jìn)而可求y=a+c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由2sin²$\frac{A+C}{2}$+cos2B=1，
有1-cos（A+C）+cos2B=1．
∴cosB+2cos²B-1=0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$或cosB=-1，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理$\frac{sinB}=2R=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴y=a+c=2RsinA+2RsinC
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinA+sinC）…（8分）
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）]
=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．…（10分）
而c=$\frac{2π}{3}$-A$＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴y=4sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（2$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．