Question

2．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，則函數(shù)g（x）在[-2017，2017]上的值域為[-4030，4044]．

Answer 1

分析 由已知不妨設(shè)g（x₀）=-2，g（x₁）=6，x₀，x₁∈[2，3]，利用f（x）的周期為1可求g（x₀+n）．同理可求g（x₁+n）．再利用函數(shù)的單調(diào)性可求g（x）在[-2017，2017]上的最小值、最大值，從而得g（x）在[-2017，2017]上的值域．

解答 解：由g（x）在區(qū)間[2，3]上的值域為[-2，6]，可設(shè)g（x₀）=-2，g（x₁）=6，x₀，x₁∈[2，3]，g（x₀）=f（x₀）-2x₀=-2，
∵y=f（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，∴g（x₀+n）=f（x₀+n）-2（x₀+n）=f（x₀）-2x₀-2n=-2-2n．
同理g（x₁+n）=6-2n，
2017-3=2014，于是g（x）在[-2017，2017]上的最小值是-2-2×2014=-4030；-2017-2=-2019，于是g（x）在[-2017，2017]上的最大值是6-2（-2019）=4044．
∴函數(shù)g（x）在[-2017，2017]上的值域為[-4030，4044]．
故答案為：[-4030，4044]．

點評 本題考查了函數(shù)的值域、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用，考查了利用所學(xué)知識解決問題的能力．