Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）+ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)求解極值點(diǎn)，然后求解函數(shù)的極值．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)（i）當(dāng)a≥0時(shí)，（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（x-1）-x：定義域?yàn)椋海?，+∞），
可得f′（x）=$\frac{1}{x-1}-1$=$\frac{x-2}{x-1}$，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，x∈（2，+∞）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，
所以[f（x）]_極大值=f（2）=-2，無(wú)極小值．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?a，+∞），∴$f'（x）=\frac{{ax+{a^2}+1}}{x+a}$．
（i）當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-a，+∞）上為增函數(shù)；
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，令f'（x）=0，解得$x=-a-\frac{1}{a}＞-a$，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，解得$-a＜x＜-a-\frac{1}{a}$，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，解得$x＞-a-\frac{1}{a}$，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
綜上所述：（i）當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-a，+∞）上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在$（{-a，-a-\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞增，在$（{-a-\frac{1}{a}，+∞}）$上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分類討論思想的應(yīng)用，是中檔題．