Question

7．設直線l：3x+4y+4=0，圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0），若圓C上存在兩點P，Q，直線l上存在一點M，使得∠PMQ=90°，則r的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞]．

Answer 1

分析 由題意圓C上存在兩點P，Q，直線l上存在一點M，使得∠PMQ=90°，可知四邊形CPMQ是正方形，
圓心到直線的距離小于等于r$\sqrt{2}$，即可存在．

解答 解：由題意，直線l：3x+4y+4=0，圓C：（x-2）²+y²=r²（r＞0），圓心為（2，0），半徑r．
點P，Q是圓C上的點，M是直線上的點，使得∠PMQ=90°，可知，四邊形CPMQ是正方形，
圓心到直線的距離d=$\frac{|3×2+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}≤r\sqrt{2}$，
解得：r$≥\sqrt{2}$．
∴r的取值范圍是[$\sqrt{2}$，+∞]．
故答案為：[$\sqrt{2}$，+∞]．

點評 本題考查直線與圓的方程的關系，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質的合理運用．