Question

10．已知函數(shù)f（x）=a^x-e（x+1）lna-$\frac{1}{a}$（a＞0，且a≠1）
（I）當(dāng)a=e時，求函數(shù)y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）只有一個零點，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分0＜a＜1和a＞1求得原函數(shù)的最小值，由最小值等于0求得a值．

解答 解：（Ⅰ）a=e時，f（x）=e^x-e（x+1）-$\frac{1}{e}$，
f′（x）=e^x-e，f（1）=e-2e-$\frac{1}{e}$=-e-$\frac{1}{e}$，f′（1）=0，
故切線方程是：y=e+$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e），
當(dāng)0＜a＜1時，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＞0，即x＜$\frac{1}{lna}$
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＜0，即x＞$\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{lna}$時函數(shù)取得最小值為f（$\frac{1}{lna}$）=a$\frac{1}{lna}$-e（$\frac{1}{lna}$+1）lna-$\frac{1}{a}$
=a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$．
要使函數(shù)f（x）只有一個零點，則a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$=0，得a=$\frac{1}{e}$；
當(dāng)a＞1時，由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＜0，得a^x-e＜0，即x＜$\frac{1}{lna}$．
由f′（x）=a^xlna-elna=lna（a^x-e）＞0，得a^x-e＞0，即x＞$\frac{1}{lna}$．
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{lna}$）上為減函數(shù)，在（$\frac{1}{lna}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{lna}$時函數(shù)取得最小值為f（$\frac{1}{lna}$）=a$\frac{1}{lna}$-e（$\frac{1}{lna}$+1）lna-$\frac{1}{a}$=a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$．
要使函數(shù)f（x）只有一個零點，則a$\frac{1}{lna}$-elna-e-$\frac{1}{a}$=0，得a=$\frac{1}{e}$（舍）．
綜上，若函數(shù)f（x）只有一個零點，則a=$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點的判定，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．