Question

3．已知拋物線y²=4x，過焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，設(shè)|AF|=m，|BF|=n，則m+n的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x與過其焦點(diǎn)（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)拋物線的定義，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答 解：由題意知，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)斜率k存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立拋物線方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
則 x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
依據(jù)拋物線的定義得出m+n=x₁+x₂+2＞4，
當(dāng)斜率k不存在時(shí)，m+n=4．
則m+n的最小值是4．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于中檔題．需要注意對斜率不存在的情況加以研究．