Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過點$P（2，\sqrt{2}）$，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l的方程為 x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）經(jīng)過橢圓右焦點e的任一直線（不經(jīng)過點a=-1）與橢圓交于兩點A，B，設直線AB與l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問：k₁+k₂-2k₃是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，以及a，b，c的關系，解方程即可得到所求橢圓方程；
（2）求得橢圓右焦點坐標，設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，結合等差數(shù)列中項，即可得證．

解答 解：（1）由點$P（2，\sqrt{2}）$在橢圓上，離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1，\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
且a²=b²+c²，解得c²=4，a²=8，b²=4，
橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）橢圓右焦點F（2，0），顯然直線AB斜率存在，
設AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2）．代入橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
整理得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$…①
令y=k（x-2）中x=4，得M（4，2k），從而${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$，${k}_{3}=k-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又因為A、F、B共線，則有k=k_AF=k_BF，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}=k$．
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}-\sqrt{2}（\frac{1}{{x}_{2}-2}+\frac{1}{{x}_{1}-2}）$=2k-$\sqrt{2}\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}{+x}_{2}）+4}$…②
將①代入②得k₁+k₂=2k-$\sqrt{2}$=2k₃
∴k₁+k₂-2k₃=0（定值）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，直線的斜率公式和等差數(shù)列中項性質，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．