Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}$（a^x-a^-x），其中a＞0，a≠0．
（Ⅰ）討論f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）試比較f（1）-1與f（2）-2，f（2）-2與f（3）-3的大小，并由此歸納出f（x）-x與f（x+1）-（x+1）（其中x≥1）的大小關系，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）先求導，再判導數(shù)的符號．
（2）直接計算f（1）-1與f（2）-2、f（2）-2與f（3）-3，進行比較．比較大小可用做差比較法．歸納一般的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性進行證明．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x+a^-x）lna，
若0＜a＜1，則$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，lna＜0，所以f′（x）＞0；
若a＞1，則$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，lna＞0，所以f′（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增．
（Ⅱ）直接計算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根據(jù)基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因為（a²+a^-2-2）（a+a^-1-2）=[（a+a^-1）²-（$\sqrt{a}$-$\sqrt{{a}^{-1}}$）²]=（$\sqrt{a}$-$\sqrt{{a}^{-1}}$）²（a+a^-1+1）=$\frac{1}{a}$（a-1）²（a+a^-1+1）＞0，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假設?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
記g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]$\frac{a}{{a}^{2}-1}$[（a^x+1-a^-x-1）-（（a^x-a^-x）]-1=$\frac{{a}^{x+1}+{a}^{-x}}{a+1}$-1，
g′（x）=$\frac{{a}^{x+1}+{a}^{-x}}{a+1}$lna，
與（Ⅰ）類似地討論知，對?x＞0和?a＞0且a≠1都有g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的單調(diào)遞增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．

點評 本題考查比較大小、歸納推理、函數(shù)單調(diào)性的證明及應用，綜合性強，難度較大．