Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2$\sqrt{2}$，BC=4$\sqrt{2}$，PA=2，點(diǎn)M在PD上．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）若BM與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{{\sqrt{26}}}{26}$，求四棱錐M-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE，求解三角形可得AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，得AB⊥PA，再由線面垂直的判定可得AB⊥面PAC，故有AB⊥PC；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得∠BAD=135°，過(guò)M作MG⊥AD于G，設(shè)AG=x，則GD=$2\sqrt{2}-x$，有MG=$\frac{4-\sqrt{2}x}{2}$．在△ABG中，由余弦定理可得BG，由BM與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{26}}{26}$，得M為PD的中點(diǎn)，再由棱錐體積公式求得四棱錐M-ABCD的體積．

解答 解：（Ⅰ）證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE，
則AD=EC，又AD∥EC，∴四邊形AECD為平行四邊形，
故AE⊥BC，又AE=BE=EC=$2\sqrt{2}$，
∴∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC；
（Ⅱ）由（1）知AB⊥AC，可得∠BAD=135°，
過(guò)M作MG⊥AD于G，設(shè)AG=x，則GD=$2\sqrt{2}-x$，∴MG=$\frac{4-\sqrt{2}x}{2}$．
在△ABG中，由余弦定理可得：BG=$\sqrt{{4}^{2}+{x}^{2}+4\sqrt{2}x}$，
由BM與平面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{26}}{26}$，得$\frac{\frac{4-\sqrt{2}x}{2}}{\sqrt{16+{x}^{2}+4\sqrt{2}x}}=\frac{\sqrt{26}}{26}$，解得x=$\sqrt{2}$，
∴MG=1，即M為PD的中點(diǎn)．
此時(shí)四棱錐M-ABCD的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（2\sqrt{2}+4\sqrt{2}）×2\sqrt{2}×1$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．