Question

11．已知正項數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，若以（a_n，S_n）為坐標的點在曲線y=$\frac{1}{2}$x（x+1）上，則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n．

Answer 1

分析 以（a_n，S_n）為坐標的點在曲線y=$\frac{1}{2}$x（x+1）上，可得S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$．利用遞推關(guān)系n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．化為a_n-a_n-1=1．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：以（a_n，S_n）為坐標的點在曲線y=$\frac{1}{2}$x（x+1）上，
∴S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$．
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$-$\frac{1}{2}{a}_{n-1}（{a}_{n-1}+1）$．
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項與公差都為1的等差數(shù)列．
∴a_n=1+（n-1）=n．
故答案為：a_n=n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、方程的解法、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．