Question

1．如圖，點F是拋物線τ：x²=2py （p＞0）的焦點，點A是拋物線上的定點，且$\overrightarrow{AF}$=（2，0），點B，C是拋物線上的動點，直線AB，AC斜率分別為k₁，k₂．
（ I）求拋物線τ的方程；
（Ⅱ）若k₁-k₂=2，點D是點B，C處切線的交點，記△BCD的面積為S，證明S為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₀，y₀），可知F（0，$\frac{p}{2}$），故$\overrightarrow{A{F}_{1}}=（-{x}_{0}，\frac{p}{2}-{y}_{0}）=（2，0）$．求得A坐標，代入x²=2py，得p=2．即可
（Ⅱ）過D作y軸的平行線交BC于點E，．并設(shè)B（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（${x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），由${k}_{2}-{k}_{1}=\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}+2}-\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}+2}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{4}$=2，得x₂-x₁=8．聯(lián)立直線、直線方程得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{{y}_{D}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}}\end{array}\right.$．由題意${y}_{E}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{8}$，即可求△BCD的面積為S=$\frac{1}{2}$×ED×（x₂-x₁）=$\frac{1}{2}（{y}_{E}-{y}_{D}）（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$\frac{1}{2}×\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{8}×（{x}_{2}-{x}_{1}）=32$（定值）

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₀，y₀），可知F（0，$\frac{p}{2}$），故$\overrightarrow{A{F}_{1}}=（-{x}_{0}，\frac{p}{2}-{y}_{0}）=（2，0）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-2}\\{{y}_{0}=\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，代入x²=2py，得p=2．
∴拋物線τ的方程為x²=4y．
（Ⅱ）過D作y軸的平行線交BC于點E，并設(shè)B（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（${x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
由（Ⅰ）得A（-2，1）．
${k}_{2}-{k}_{1}=\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}+2}-\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}+2}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{4}$=2，
∴x₂-x₁=8．
直線DBy=$\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，直線CDy=$\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{{y}_{D}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}}\end{array}\right.$．
∴直線BC的方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}（x-{x}_{1}）$，將x_D代入得${y}_{E}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{8}$．
∴△BCD的面積為S=$\frac{1}{2}$×ED×（x₂-x₁）=$\frac{1}{2}（{y}_{E}-{y}_{D}）（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$\frac{1}{2}×\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{8}×（{x}_{2}-{x}_{1}）=32$（定值）

點評 本題考查了拋物線的方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題，