Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1上一點P（x，y）到雙曲線一個焦點的距離是9，則x²+y²的值是133．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，不妨設點P（x，y）在右支上，焦點為右焦點，運用兩點的距離公式和點滿足雙曲線方程，解方程可得P的坐標，進而得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的a=4，b=6，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
不妨設點P（x，y）在右支上，
由條件可知P點到右焦點（2$\sqrt{13}$，0）的距離為9，
即為$\sqrt{（x-2\sqrt{13}）^{2}+{y}^{2}}$=9，且$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1，
解出x=2$\sqrt{13}$，y=±9，
則x²+y²=52+81=133．
故答案為：133．

點評 本題考查雙曲線的方程和應用，考查兩點距離公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．