Question

14．設有下面四個命題
p₁：若復數(shù)z滿足$\frac{1}{z}$∈R，則z∈R；
p₂：關于x的不等式x²-ax+a＞0（a∈R）在R上恒成立的充分不必要條件是a＜0或a＞4；
p₃：（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$+2lg4+lg$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{3}$；
p₄：已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在同一周期內，當x=$\frac{π}{3}$時有最大值2，當x=0時有最小值-2，那么函數(shù)的解析式為y=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．
其中的真命題為（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 利用復數(shù)的運算法則，復數(shù)的概念判斷p₁的正誤；充要條件判斷p₂的正誤；導數(shù)的運算法則判斷p₃的正誤；三角函數(shù)的周期與最值判斷p₄的正誤；

解答 解：p₁：若復數(shù)z滿足$\frac{1}{z}$∈R，則z∈R；設z=a+bi，則$\frac{1}{a+bi}$=$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{{a}^{2}+^{2}}i$∈R，可得b=0，所以命題正確；
p₂：關于x的不等式x²-ax+a＞0（a∈R）在R上恒成立的充要條件是：a²-4a＜0，即0＜a＜4，原命題說充分不必要條件是a＜0或a＞4；不正確；
p₃：（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$+2lg4+lg$\frac{5}{8}$=$\frac{2}{3}$+4lg2+lg5-3lg2=$\frac{2}{3}$+1=$\frac{5}{3}$；正確；
p₄：已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在同一周期內，當x=$\frac{π}{3}$時有最大值2，當x=0時有最小值-2，那么函數(shù)的解析式為y=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．顯然不滿足題意，所以原命題不正確；
故選：A．

點評 本題考查命題的真假的判斷，復數(shù)的基本運算，充要條件以及三角函數(shù)的簡單性質導數(shù)的運算法則的應用，是基礎題．