Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b為實數(shù)．
（1）若f（x）在點（1，2）處的切線與x軸相互平行，求a，b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，且b=9a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=2，f′（1）=0，解方程即可得到a，b的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為3x²-6ax-9a≤0在[-1，2]恒成立，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-3ax²-bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-6ax-b，
f（x）在點（1，2）處的切線與x軸相互平行，
可得f（1）=2，f′（1）=0，
即為1-3a-b=2，3-6a-b=0，
解得a=$\frac{4}{3}$，b=-5；
（2）由b=9a，得f（x）=x³-3ax²-9ax，
f′（x）=3x²-6ax-9a，
若f（x）在區(qū)間[-1，2]上為減函數(shù)，
則3x²-6ax-9a≤0在[-1，2]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+6a-9a≤0}\\{12-12a-9a≤0}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≥\frac{4}{7}}\end{array}\right.$，
解得：a≥1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運算能力，屬于中檔題．