Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在處的切線方程；

（2）求證：；

（3）求證：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程，整理可得切線方程為；

（2）根據(jù)圖像與切線關(guān)系，先證，再證，通過構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)法求出即可；

（3）對(duì)再求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，再由零點(diǎn)存在性定理，可得存在唯一的，使得，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，再由，即可證明結(jié)論.

（1），，，

故在處的切線方程為；

（2）先證.令，

，設(shè)

，故在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

為的極小值也是最小值，

故，故成立；

再證.

令，，

令得，故在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，是的極小值也是最小值，

故，故成立.

綜上知成立.

（3），

設(shè)

，

故在上單調(diào)遞增，

因，，

故根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知存在唯一的，使得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)0；且

又因?yàn)?/span>，

故存在唯一使得，

因此有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).