Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定點(diǎn)坐標(biāo)為或

【解析】

（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.

（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程得到，，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的方程可化為，得到答案.

（1）根據(jù)題意：，因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，

把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，

所以，，

所以，，

因?yàn)橹本�的斜率，所以直線的方程，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故以為直徑的圓的方程為，

又因?yàn)?/span>，，

所以圓的方程可化為，令，則有，

所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.