Question

4．已知函數(shù) f（x）=asinx-bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$處取得最小值，則函數(shù)g（x）=f（$\frac{3π}{4}$-x）是（　　）

• A． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) （π，0）對(duì)稱
• B． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) （π，0）對(duì)稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對(duì)稱
• D． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對(duì)稱

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得g（x）=f（$\frac{3π}{4}$-x）=f（x-$\frac{π}{4}$），故g（x）可以看成把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到的，再根據(jù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心最少相差$\frac{1}{4}$T，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù) f（x）=asinx-bcosx （a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$處取得最小值，最小正周期為2π，
則f（$\frac{3π}{4}$-x）=f（x-$\frac{π}{4}$），則函數(shù)g（x）=f（$\frac{3π}{4}$-x）=f（x-$\frac{π}{4}$）．
故g（x）可以看成把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到的，即x=$\frac{π}{2}$是g（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸．
由于g（$\frac{π}{2}$）=f（$\frac{π}{4}$）對(duì)應(yīng)g（x）的最小值，而對(duì)稱軸和對(duì)稱中心最少相差$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$，故（0，0）和（π，0）是g（x）的對(duì)稱中心，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．