Question

2．若0＜x₁＜x₂＜1，則（　�。�

• A． e^x₂-e^x₁＞lnx₂-lnx₁
• B． e^x₂-e^x₁＜lnx₂-lnx₁
• C． x₂e^x₁＞x₁e^x₂
• D． x₂e^x₁＜x₁e^x₂

Answer 1

分析 由題意設(shè)f（x）=e^x-lnx和g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由求導(dǎo)公式和法則分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由x的范圍、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出在（0，1）上的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．

解答 解：由題意設(shè)f（x）=e^x-lnx，則$f′（x）={e}^{x}-\frac{1}{x}$，
在一個(gè)坐標(biāo)系中畫出y=e^x和$y=\frac{1}{x}$的圖象：
由圖得，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)f′（x）＜0，則f（x）遞減，
當(dāng)x∈（a，1）時(shí)f′（x）＞0，則f（x）遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上不是單調(diào)函數(shù)，即A、B不正確；
設(shè)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則$g′（x）=\frac{{（e}^{x}）′x-x′•{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
因?yàn)閤∈（0，1），所以$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}＜0$，則g′（x）＜0，
即函數(shù)g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜1，所以g（x₁）＞g（x₂），
則$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}＞\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，即x₂e^x₁＞x₁e^x₂，即排除D，
故選C，

點(diǎn)評(píng) 本題考查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，分析、解決問題和能力．