Question

17．將函數(shù)f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則φ的最小值為$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 由兩角和的正弦化簡(jiǎn)y=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x，平移后由函數(shù)為偶函數(shù)得到2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，由此可求最小正數(shù)φ的值．

解答 解：∵y=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴將函數(shù)y=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x（x∈R）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位后，
所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$）．
∵所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴y=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù)．
即2φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
當(dāng)k=0時(shí)，φ的最小值為$\frac{π}{12}$．
故答案為：$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象平移，考查了三角函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．