Question

7．設(shè)M、N是直線x+y-2=0上的兩動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)M（m，2-m），N（n，2-n），且m＞n，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式可得m-n=1，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為n的二次函數(shù)，配方即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)M（m，2-m），N（n，2-n），且m＞n，
由|MN|=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{（m-n）^{2}+（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得m-n=1，即m=1+n，
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=mn+（2-m）（2-n）=2mn+4-2（m+n）=2n（1+n）+4-2（1+2n）
=2（n²-n+1）=2[（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]≥$\frac{3}{2}$，
當(dāng)n=$\frac{1}{2}$，m=$\frac{3}{2}$時(shí)，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．