Question

8．已知拋物線x²=4y的焦點為F，準線為l，拋物線的對稱軸與準線交于點Q，P為拋物線上的動點，|PF|=m|PQ|，當m最小時，點P恰好在以F，Q為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $3-2\sqrt{2}$
• B． $2-\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}-1$

Answer 1

分析 求出F（0，1），Q（0，-1），過點P作PM垂直于準線，則PM=PF．記∠PQM=α，則m=$\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{|PM|}{|PQ|}=sinα$，當α最小時，m有最小值，設P（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），然后求解a，c，即可求解橢圓的離心率、

解答 解：由已知，F（0，1），Q（0，-1），過點P作PM垂直于準線，則PM=PF．記∠PQM=α，
則m=$\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{|PM|}{|PQ|}=sinα$，
當α最小時，m有最小值，此時直線PQ與拋物線相切于
點P
設P（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），可得P（±2，1），所以|PQ|=2$\sqrt{2}$，|PF|=2，則|PF|+|PQ|=2a，
∴a=$\sqrt{2}+1$，c=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}-1$，
故選：D．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力．