Question

對于函數(shù)f（x）=

1

ax-1

+

1

2

（a＞1）．
（1）探究函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在[-2，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)0＜x₁＜x₂，再比較f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，依據(jù)定義作出判斷，其間要對a進行討論．
（2）先證明f（x）是奇函數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論，從而得到f（x）在[-2，-1]遞減，從而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

ax1-1

-

1

ax2-1

=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

，
①當(dāng)0＜a＜1時，ax2＜ax1＜a0=1，∴ax2-ax1＜0，ax1-1＜0，ax2-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞1時，ax2＞ax1＞a0=1，∴ax2-ax1＞0，ax1-1＞0，ax2-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）單調(diào)遞減．
綜上，當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；當(dāng)a＞1時，f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)．
（2）a=2時，f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，f（-x）=

1

2-x-1

+

1

2

=1）由2^x-1≠0，得x≠0，∴定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點對稱．
∵f（-x）=

1

2-x-1

+

1

2

=-

2x+1

2(2x-1)

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
由（1）知：函數(shù)f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，由（1）知：f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x）在[-2，-1]上也為減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-2）=-

5

6

，f（x）_min=f（-1）=-

3

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，利用定義是解決該類問題的常用辦法．