Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2；數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足b₁=1，b₂=2，$\frac{T_n}{{{T_{n+1}}}}=\frac{b_n}{{{b_{n+2}}}}$．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$恰為數(shù)列{b_n}中的一項(xiàng)？若存在，求所有滿足要求的b_n；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，a_n=S_n-S_n-1，即可求得a_n=2a_n-1，則數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；由$\frac{T_n}{{{T_{n+1}}}}=\frac{b_n}{{{b_{n+2}}}}$．采用“累乘法”即可求得當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+1-b_n-1=2，數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成立等差數(shù)列，b₃=T₂=b₁+b₂=3，b₁+b₃=2b₂，數(shù)列{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$，作差比較大小，c_n＞c_n+1＞1，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可求得存在n=2，使得b₇=c₂，b₃=c₃．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-2，則當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式相減得：a_n=2a_n-2a_n-1，則a_n=2a_n-1，
由S₁=2a₁-2，則a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則a_n=2ⁿ，
由$\frac{T_n}{{{T_{n+1}}}}=\frac{b_n}{{{b_{n+2}}}}$．
則$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{3}}$，$\frac{{T}_{2}}{{T}_{3}}$=$\frac{_{2}}{_{4}}$，$\frac{{T}_{3}}{{T}_{4}}$=$\frac{_{3}}{_{5}}$，…，$\frac{{T}_{n-1}}{{T}_{n}}$=$\frac{_{n-1}}{_{n+1}}$．$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n+1}}$=$\frac{_{n}}{_{n+2}}$
以上各式相乘，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{n+1}}$=$\frac{_{1}_{2}}{_{n+1}_{n+2}}$，則2T_n=b_nb_n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2T_n-1=b_n-1b_n，兩式相減得：2b_n=b_n（b_n+1-b_n-1），即b_n+1-b_n-1=2，
∴數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，
由$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{3}}$，則b₃=T₂=b₁+b₂=3，b₁+b₃=2b₂，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=n；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$無(wú)意義，
設(shè)c_n=$\frac{{{a_n}+{b_n}+1}}{{{a_n}-{b_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$，（n≥2，n∈N*），
則c_n+1-c_n=$\frac{{2}^{n+1}+n+2}{{2}^{n+1}-（n+2）}$-$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$=$\frac{-n•{2}^{n+1}}{[{2}^{n+1}-（n+2）][{2}^{n}-（n+1）]}$＜0，
即c_n＞c_n+1＞1，
顯然2ⁿ+n+1＞2ⁿ-（n+1），則c₂=7＞c₃=3＞c₄＞…＞1，
∴存在n=2，使得b₇=c₂，b₃=c₃，
下面證明不存在c₂=2，否則，c_n=$\frac{{2}^{n}+n+1}{{2}^{n}-（n+1）}$=2，即2ⁿ=3（n+1），
此時(shí)右邊為3的倍數(shù)，而2ⁿ不可能是3的倍數(shù)，故該不等式成立，
綜上，滿足要求的b_n為b₃，b₇．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查等比數(shù)列及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及證明，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．