Question

16．若關(guān)于x的方程|f（|x|）|=a，當(dāng)a＞0時(shí)總有4個(gè)解，則f（x）可以是（　　）

• A． x²-1
• B． $\frac{1}{x-1}$
• C． 2^x-2
• D． log₂x-2

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，寫(xiě)出f（|x|）與|f（|x|）|的解析式，
再判斷對(duì)應(yīng)方程|f（|x|）|=a在a＞0時(shí)解的個(gè)數(shù)．

解答 解：對(duì)于A，f（x）=x²-1，∴f（|x|）=x²-1，
∴|f（|x|）|=|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}，-1≤x≤1}\\{{x}^{2}-1，x＜-1或x＞1}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，當(dāng)1＞a＞0時(shí)有4個(gè)解，
當(dāng)a=1時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)a＞1時(shí)有2個(gè)解，∴A不滿足題意；
對(duì)于B，f（x）=$\frac{1}{x-1}$，∴f（|x|）=$\frac{1}{|x|-1}$，
∴|f（|x|）|=|$\frac{1}{|x|-1}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x|-1}，|x|＞1}\\{\frac{1}{1-|x|}，|x|＜1}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，當(dāng)1＞a＞0時(shí)有2個(gè)解，
當(dāng)a=1時(shí)無(wú)解，當(dāng)a＞1時(shí)有2個(gè)解，∴B不滿足題意；
對(duì)于C，f（x）=2^x-2，∴f（|x|）=2^|x|-2，
∴|f（|x|）|=|2^|x|-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2{-2}^{|x|}，|x|≤1}\\{{2}^{|x|}-2，|x|＞1}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，當(dāng)1＞a＞0時(shí)有4個(gè)解，
當(dāng)a=1時(shí)有3個(gè)解，當(dāng)a＞1時(shí)有2個(gè)解，∴C不滿足題意；
對(duì)于D，f（x）=log₂x-2，∴f（|x|）=log₂|x|-2，
∴|f（|x|）|=|log₂|x|-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2{-log}_{2}|x|，0＜|x|≤4}\\{{log}_{2}|x|-2，|x|＞4}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，當(dāng)a＞0時(shí)恒有4個(gè)解，∴D滿足題意．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，是中檔題．