Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點是雙曲線D：$\frac{y^2}{2}-{x^2}=\frac{1}{3}$的中心，拋物線C的焦點與雙曲線D的焦點相同．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若點P（t，1）（t＞0）為拋物線C上的定點，A，B為拋物線C上兩個動點．且PA⊥PB，問直線AB是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，可得拋物線的焦點，即可得到拋物線的方程；
（2）求得P（2，1），設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），若PA⊥PB，則兩直線斜率積為-1，求出直線AB的方程，可得直線AB經(jīng)過定點（-2，5）．

解答 解：（1）雙曲線D：$\frac{y^2}{2}-{x^2}=\frac{1}{3}$
即$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{3}}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{3}}$=1，焦點為（0，±1），
拋物線C的頂點是O，
可得拋物線C的方程為x²=4y或x²=-4y；
（2）若點P（t，1）（t＞0）為拋物線C上的定點，
則拋物線的方程為x²=4y，即有P（2，1），
設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
因為PA⊥PB，
所以k_PAk_PB=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4}{4（{x}_{1}-2）}$•$\frac{{{x}_{2}}^{2}-4}{4（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$•$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=-1，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，①
直線AB的方程為：$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-y}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{{x}_{1}-x}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
整理得：4y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁），
即x₁x₂-x（x₁+x₂）+4y=0，②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{-x=2}\\{4y=20}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
即直線AB經(jīng)過定點（-2，5）．

點評 本題考查的知識點是拋物線的方程的求法，注意運用雙曲線的方程和性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線過定點問題，斜率公式，考查化簡整理的運算能力，難度中檔．